Вспомним самую известную математическую задачу, которая насчитывает более двух с половиной тысяч лет. Это задача о квадратуре круга, которая является одной из самых знаменитых задач древности и относится к так называемым классическим задачам античности. Другими классическими задачами являются задачи об удвоении куба и трисекции угла. Иногда к классическим задачам античности относят еще задачу о делении круга или о построении правильного многоугольника.
По свидетельству древнегреческого историка Плутарха, философ Анаксагор пытался решить задачу о квадратуре круга, находясь в тюрьме. Это относит нас к V веку до н.э. и является первым задокументированным подтверждением существования задачи. Возможно, что задача была известна и намного ранее в Древнем Египте и Вавилоне.
Сама задача формулируется очень просто.
Квадратура круга
Задача. Требуется построить с помощью циркуля и линейки квадрат равновеликий кругу (то есть квадрат такой же по площади, что и заданный круг).
Для того чтобы понять, в чём же состоит сложность решения этой задачи, нужно обратить внимание на использование только двух разрешенных приборов: циркуля и линейки.
Обычно считают, что математика как наука появилась в Древней Греции, когда была построена система математических доказательств (аксиоматический метод). Сначала формулировались очевидные истины, которые назывались аксиомы или постулаты. Дальше из них с помощью логических рассуждений доказывались новые утверждения (леммы или теоремы). Наиболее ярко этот метод удалось реализовать в геометрии и его описание дошло до нас благодаря Евклиду.
Для геометрических построений греки использовали два инструмента – циркуль и линейку. Циркуль позволяет построить окружность, а линейка позволяет построить прямую линию, проходящую через две заданные точки. Предполагается, что линейка не имеет никаких делений и может использоваться только для построения прямой линии. Окружность и прямая – два основных геометрических объекта, которые не могут быть сведены друг к другу, и два соответствующих инструмента. Минимальность средств является признаком совершенства, к которому во всем стремились в Древней Греции.
С помощью циркуля и линейки можно легко построить отрезок, равный сумме или разности заданных отрезков с длинами a и b, отрезок равный произведению ab, отношению a/b, квадратному корню из a или среднему геометрическому отрезков a, b. Однако, с классическим задачами античности возникли существенные сложности.
Если радиус круга равен R, то его площадь равна πR^2. Нам нужно найти длину стороны квадрата a, такую, что a^2 = πR^2, откуда получаем, что основная сложность состоит в построении корня квадратного из числа π. Извлечь корень с помощью циркуля и линейки возможно, поэтому для решения задачи достаточно было бы уметь построить просто само число π. Как мы знаем, число π – это математическая константа, равная отношению длины окружности к его диаметру, приближённо равная 3.1415.
Если снять условие об использовании только циркуля и линейки, то задача достаточно легко решается. Например, метод, предложенный Леонардо да Винчи: если взять цилиндр с диаметром основания 1 и высотой 1 и прокатить его по плоскости, то за один полный оборот цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью π. Действительно, площадь этого прямоугольника будет равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра. Длина окружности в основании будет равна π, а высота равна 1. Имея такой прямоугольник, можно было бы построить и квадрат такой же площади.
Как мы уже заметили, с помощью циркуля и линейки можно выполнять над отрезками четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление), а также извлечение квадратного корня. Естественно, что можно комбинировать все эти действия, то есть с помощью циркуля и линейки можно построить любые квадратично-иррациональные выражения. В 1837 году Пьер Лоран Ванцель доказал, что ничего другого с помощью циркуля и линейки построить нельзя. В частности, теорема Ванцеля доказала невозможность решения задачи об удвоении куба, трисекции угла и задачи о построении правильных многоугольников. Однако теорема Ванцеля не объясняла, почему нельзя решить задачу о квадратуре круга.
Только в 1882 году удалось поставить окончательную точку в многочисленных попытках решения этой задачи с помощью циркуля и линейки. Немецкий математик Карл Луис Фердинанд фон Линдеман в 1882 году доказал, что число π является числом трансцендентным, то есть числом, которое не является корнем никакого многочлена с целочисленными коэффициентами.
Итак, в 1882 году была поставлена точка в попытках решения задачи о квадратуре круга. Однако, само выражение «квадратура круга» стало фразеологизмом и по-прежнему используется, если мы хотим описать какую-либо неразрешимую задачу, что-то невозможное и недостижимое.
1 апреля отмечается День математика. Хотя этот день нигде официально не утвержден, его отмечают многие математики, а также информатики и физики. Обычно в этот день проводятся различные математические конкурсы и олимпиады, либо награждаются их победители. На портале «Математический Эверест» конкурсы и олимпиады по математике проводятся ежедневно и победителем можно стать в любое время! А кроме того, там есть теоретический материал, уроки и тренажеры по математике.
